A.
Penerapan
FSA
Finite state automata (FSA) adalah mesin
abstrak berupa sistem model matematika dengan masukan dan keluaran diskrit yang
dapat mengenali bahasa paling sederhana (bahasa reguler) dan dapat
diimplementasikan secara nyata.
Finite State Automata (FSA) adalah model
matematika yang dapat menerima input dan mengeluarkan output yang memiliki
state yang berhingga banyaknya dan dapat berpindah dari satu state ke state
lainnya berdasarkan input dan fungsi transisi. Finite state automata tidak
memiliki tempat penyimpanan/memory, hanya bisa mengingat state terkini.
Finite State Automata dinyatakan oleh
pasangan 5 tuple, yaitu:
M=(Q , Σ , δ , S , F )
Q = himpunan state
Σ = himpunan simbol input
δ = fungsi transisi δ : Q × Σ
S = state awal / initial state , S ∈ Q
F = state akhir, F ⊆ Q
B.
Karakteristik
Finite Automata
1. Setiap
Finite Automata memiliki keadaan dan transisi yang terbatas.
2. Transisi
dari satu keadaan ke keadaan lainnya dapat bersifat deterministik atau
non-deterministik.
3. Setiap
Finite Automata selalu memiliki keadaan awal.
4. Finite
Automata dapat memiliki lebih dari satu keadaan akhir.
Jika setelah pemrosesan seluruh string,
keadaan akhir dicapai, artinya otomata menerima string tersebut. Setiap FSA memiliki:
a. Himpunan
berhingga (finite) status (state)
·
Satu buah status sebagai status awal
(initial state), biasa dinyatakan q0.
·
Beberapa buah status sebagai status akhir
(final state).
b. Himpunan
berhingga simbol masukan
c. Fungsi
transisi
Menentukan status
berikutnya dari setiap pasang status dan sebuah simbol masukan.
C.
Cara
Kerja Finite State Automata
Finite State Automata bekerja dengan cara
mesin membaca memori masukan berupa tape yaitu 1 karakter tiap saat (dari kiri
ke kanan) menggunakan head baca yang dikendalikan oleh kotak kendali state
berhingga dimana pada mesin terdapat sejumlah state berhingga.
Finite Automata selalu dalam kondisi yang
disebut state awal (initial state) pada saat Finite Automata mulai membaca
tape. Perubahan state terjadi pada mesin ketika sebuah karakter berikutnya
dibaca. Ketika head telah sampai pada akhir tape dan kondisi yang ditemui
adalah state akhir, maka string yang terdapat pada tape dikatakan diterima
Finite Automata (String-string merupakan milik bahasa bila diterima Finite
Automata bahasa tersebut).
D. Finite
State Diagram (FSD)
Finite State Automata dapat dimodelkan dengan
Finite State Diagram (FSD) dapat juga disebut State Transition Diagram. Sistem
transisi adalah sistem yang tingkah lakunya disajikan dalam bentuk
keadaan-keadaan (states). Sistem tersebut dapat bergerak dari state yang satu
ke state lainnya sesuai dengan input yang diberikan padanya.
Fungsi Transisi (d) adalah representasi
matematis atas transisi keadaan.
S
= himpunan alfabet.
Q
= himpunan keadaan-keadaan.
d
= Q x S à Q
Finite
State Diagram terdiri dari:
a. Lingkaran
menyatakan state
Lingkaran diberi label sesuai dengan nama
state tersebut. Adapun pembagian lingkaran adalah:
· Lingkaran
bergaris tunggal berarti state sementara
· Lingkaran
bergaris ganda berarti state akhir
b. Anak
Panah menyatakan transisi yang terjadi.
Label di anak panah menyatakan simbol yang
membuat transisi dari 1 state ke state lain. 1 anak panah diberi label start
untuk menyatakan awal mula transisi dilakukan. Contoh FSA : pencek parity
ganjil.
Misal
input : 1101
Genap
1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 1 Ganjil : diterima mesin
Misal
input : 1100
Genap
1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 0 Genap : ditolak mesin
Dari
contoh diatas, maka:
Q
= {Genap, Ganjil}
Σ
= {0,1}
S
= Genap
F
= {Ganjil }
atau
δ(Genap,0)
= Genap
δ(Genap,1)
= Ganjil
δ(Ganjil,0)
= Ganjil
δ(Ganjil,1)
= Genap
Sebuah
FSA dibentuk dari lingkaran yang menyatakan state:
·
Label pada lingkaran adalah nama state
·
Busur menyatakan transisi/ perpindahan
·
Label pada busur yaitu symbol input
·
Lingkaran yang didahului sebuah busur tanpa
label menyatakan state awal
·
Lingkaran ganda menyatakan state akhir/
final.
Jadi
sebuah mesin otomata dapat dinyatakan dalam diagram transisi, fungsi transisi
dan tabel transisi.
E.
Jenis
FSA
Ada
dua jenis FSA :
1.
Deterministic Finite Automata (DFA) :
dari suatu state ada tepat satu state berikutnya untuk setiap simbol masukan
yang diterima. Deterministik artinya tertentu/sudah tertentu fungsi
transisinya.
Notasi
matematis DFA:
•
M = nama DFA
•
Q = himpunan keadaan DFA
•
S = himpunan alfabet
•
d = fungsi transisi
•
q0 = keadaan awal
•
F = keadaan akhir
M
= (Q, S, d, q0, F)
Contoh
: Pengujian untuk menerima bit string dengan banyaknya 0 genap, serta banyaknya
1 genap.
0011
: diterima
10010
: ditolak, karena banyaknya 0 ganjil
Diagram
transisi-nya :
DFA
nya:
Q
= {q0 , q1 , q2 , q3 }
Σ
= {0,1}
S
= q0
F
= { q0}
fungsi
transisi adalah:
δ(
q0,011)= δ( q2,11) =δ( q3,1)= q2 Ditolak
δ(
q0,1010)= δ( q1,010) =δ( q3,10)=δ( q2,0)= q0 Diterima
2. Non-deterministic
Finite Automata (NDFA) : dari suatu state ada 0, 1 atau lebih state berikutnya untuk setiap simbol masukan yang
diterima.
Non-Deterministic Finite
Automata:
· Otomata
berhingga yang tidak pasti untuk setiap pasangan state input, bisa memiliki 0
(nol) atau lebih pilihan untuk state berikutnya.
· Untuk
setiap state tidak selalu tepat ada satu state berikutnya untuk setiap simbol
input yang ada.
· Dari
suatu state bisa terdapat 0,1 atau lebih busur keluar (transisi) berlabel
simbol input yang sama.
· Untuk
NFA harus dicoba semua kemungkinan yang ada sampai terdapat satu yang mencapai
state akhir.
· Suatu
string x dinyatakan diterima oleh bahasa NFA, M= (Q, _, d, S, F) bila {x | d
(S,x) memuat sebuah state di dalam F}
Kedua finite automata di atas mampu
mengenali himpunan reguler secara presisi. Dengan demikian kedua finite automata
itu dapat mengenali string-string yang ditunjukkan dengan ekspresi reguler
secara tepat.
DFA dapat menuntun recognizer(pengenal)
lebih cepat dibanding NDFA. Namun demikian, DFA berukuran lebih besar dibanding
NDFA yang ekivalen dengannya. Lebih mudah membangun NDFA dibanding DFA untuk
suatu bahasa, namun lebih mudah mengimplementasikan DFA dibanding NDFA.
F.
Ekuivalensi
Antar Deterministic Finite Automata ( Reduksi )
Untuk suatu bahasa regular, kemungkinan
ada sejumlah Deterministic Finite Automata yang dapat menerimanya. Perbedaannya
hanyalah jumlah state yang dimiliki otomata-otomata yang saling ekuivalen tersebut.
Tentu saja, dengan alasan kepraktisan, kita memilih otomata dengan jumlah state
yang lebih sedikit.
Sasaran kita di sini adalah mengurangi
jumlah state dari suatu Finite State Automata, dengan tidak mengurangi
kemampuannya semula untuk menerima suatu bahasa.
Ada dua buah istilah baru yang perlu kita
ketahui yaitu :
·
Distinguishable yang berarti dapat
dibedakan.
·
Indistinguishable yang berarti tidak dapat
dibedakan.
Dua
DFA M1 dan M2 dinyatakan ekivalen apabila L(M1) = L(M2)
G.
Reduksi
Jumlah State Pada FSA
Reduksi dilakukan untuk mengurangi jumlah
state tanpa mengurangi kemampuan untuk menerima suatu bahasa seperti semula
(efisiensi). State pada FSA dapat direduksi apabila terdapat useless state.
Hasil dari FSA yang direduksi merupakan ekivalensi dari FSA semula
Pasangan State dapat dikelompokkan
berdasarkan:
1.
Distinguishable State (dapat
dibedakan)
Dua state
p dan q dari suatu DFA dikatakan indistinguishable apabila:
δ(q,w) Î F dan δ(p,w) Î F
atau δ(q,w) ∉ F dan δ(p,w) ∉
F
untuk semua w Î S*
2. Indistinguishable
State (tidak dapat dibedakan)
Dua state
p dan q dari suatu DFA dikatakan distinguishable jika ada string w Î
S* hingga:
δ(q,w) Î F dan
δ(p,w) ∉
F
H.
Reduksi
Jumlah State Pada FSA – Relasi
Pasangan dua buah state memiliki salah
satu kemungkinan : distinguishable atau indistinguishable tetapi tidak
kedua-duanya.
Dalam hal ini terdapat sebuah relasi :
Jika p dan q indistinguishable,
dan q
dan r indistinguishable
maka p,
r indistinguishable
dan p,q,r indistinguishable
Dalam
melakukan eveluasi state, didefinisikan suatu relasi :
Untuk Q yg merupakan himpunan semua state
D adalah
himpunan state-state distinguishable,
dimana D Ì Q
N adalah himpunan state-state
indistinguishable, dimana N Ì Q
maka x Î N
jika x Î Q dan x ∉ D
I.
Reduksi Jumlah State Pada FSA – Step
Langkah
- langkah untuk melakukan reduksi ini adalah :
·
Hapuslah semua state yg tidak dapat
dicapai dari state awal (useless state)
·
Buatlah semua pasangan state (p, q) yang
distinguishable, dimana p Î F dan q ∉ F. Catat semua
pasangan-pasangan state tersebut.
·
Cari state lain yang distinguishable
dengan aturan:
Untuk semua (p, q) dan semua a Î ∑,
hitunglah δ (p, a) = pa dan δ (q, a) =
qa . Jika pasangan (pa, qa) adalah
pasangan state yang distinguishable maka pasangan (p, q) juga termasuk pasangan
yang distinguishable.
·
Semua pasangan state yang tidak termasuk
sebagai stateyang distinguishable merupakan state-state indistinguishable.
·
Beberapa state yang indistinguishable
dapat digabungkan menjadi satu state.
·
Sesuaikan transisi dari state-state
gabungan tersebut.
Reduksi Jumlah State Pada FSA – Contoh
Sebuah
Mesin DFA
1) State q5 tidak dapat dicapai dari state awal dengan
jalan apapun (useless state). Hapus
state q5
2) Catat
state-state distinguishable, yaitu :
q4
Î F sedang q0, q1, q2, q3 ∉
F sehingga pasangan
(q0,
q4) (q1, q4) (q2, q4) dan (q3, q4) adalah distinguishable.
3) Pasangan-pasangan
state lain yang distinguishable diturunkan berdasarkan pasangan darilangkah2,yaitu:
·
Untuk pasangan (q0, q1)
δ(q0, 0) = q1 dan δ(q1, 0) q2 à belum teridentifikasi
δ(q0, 1) = q3 dan δ(q1, 1) = q4 à (q3, q4) distinguishable.
maka (q0, q1) adalah distinguishable. \
δ(q0, 0) = q1 dan δ(q1, 0) q2 à belum teridentifikasi
δ(q0, 1) = q3 dan δ(q1, 1) = q4 à (q3, q4) distinguishable.
maka (q0, q1) adalah distinguishable. \
·
Untuk pasangan (q0, q2)
δ(q0, 0) = q1 dan δ(q2, 0) = q1 à belum teridentifikasi
δ(q0, 1) = q3 dan δ(q2, 1) = q4 à (q3, q4) distinguishable
maka (q0, q2) adalah distinguishable.
δ(q0, 0) = q1 dan δ(q2, 0) = q1 à belum teridentifikasi
δ(q0, 1) = q3 dan δ(q2, 1) = q4 à (q3, q4) distinguishable
maka (q0, q2) adalah distinguishable.
4) Setelah
diperiksa semua pasangan state maka
terdapat state-state yang distinguishable : (q0,q1), (q0,q2), (q0,q3), (q0,q4), (q1,q4), (q2,q4), (q3,q4). Karena berdasarkan
relasi-relasi yang ada, tidak dapat dibuktikan (q1, q2), (q1, q3) dan (q2, q3)
distinguishable, sehingga disimpulkan
pasangan-pasangan state tersebut indistinguishable.
5) Karena
q1 indistinguishable dengan q2, q2
indistinguishable dengan q3, maka dapat disimpulkan q1, q2, q3 saling
indistinguishable dan dapat dijadikan satu state.
6) Berdasarkan
hasil diatas maka hasil dari DFA yang
direduksi menjadi:
J.
Daftar
Pustaka