A. Konversi Sistem Bilangan
Macam-macam Sistem Bilangan
Sistem Bilangan atau Number System adalah Suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem Bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau basis (base / radix) yang tertentu. Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4 Jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu :
· Bilangan biner (Bilangan berbasis dua, bilangannya: 0,1)
· Bilangan octal (Bilangan berbasis delapan bilangannya: 0,1,2,3,4,5,6,7)
· Bilangan desimal (Bilangan berbasis sepuluh, bilangannya: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
· Bilangan hexadesimal (Bilangan berbasis enam belas, bilangannya: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).
Konversi bilangan adalah proses mengubah bentuk bilangan satu ke bentuk bilangan lain yang memiliki nilai yang sama. Misal: nilai bilangan desimal 12 memiliki nilai yang sama dengan bilangan octal 15; Nilai bilangan biner 10100 memiliki nilai yang sama dengan 24 dalam octal dan seterusnya.
Konversi Bilangan Biner, Octal Atau Hexadesimal Menjadi Bilangan Desimal.
Konversi dari bilangan biner, octal atau hexa menjadi bilangan desimal memiliki konsep yang sama.Konsepnya adalah bilangan tersebut dikalikan basis bilangannya yang dipangkatkan 0,1,2 dst dimulai dari kanan. Untuk lebih jelasnya silakan lihat contoh konversi bilangan di bawah ini;
1. Konversi bilangan octal ke desimal.
Cara mengkonversi bilangan octal ke desimal adalah dengan mengalikan satu-satu bilangan dengan 8 (basis octal) pangkat 0 atau 1 atau 2 dst dimulai dari bilangan paling kanan. Kemudian hasilnya dijumlahkan. Misal, 137(octal) = (7x80) + (3x81) + (1x82) = 7+24+64 = 95(desimal).
Lihat contoh gambar:
2. Konversi bilangan biner ke desimal.
Cara mengkonversi bilangan biner ke desimal adalah dengan mengalikan satu-satu bilangan dengan 2 (basis biner) pangkat 0 atau 1 atau 2 dst dimulai dari bilangan paling kanan. Kemudian hasilnya dijumlahkan. Misal, 11001(biner) = (1x20) + (0x21) + (0x22) + (1x2) + (1x22) = 1+0+0+8+16 = 25(desimal).
Lihat contoh gambar:
3. Konversi bilangan hexadesimal ke desimal.
Cara mengkonversi bilangan biner ke desimal adalah dengan mengalikan satu-satu bilangan dengan 16 (basis hexa) pangkat 0 atau 1 atau 2 dst dimulai dari bilangan paling kanan. Kemudian hasilnya dijumlahkan. Misal, 79AF(hexa) = (Fx20) + (9x21) + (Ax22) = 15+144+2560+28672 = 31391(desimal).
Lihat contoh gambar:
Konversi Bilangan Desimal Menjadi Bilangan Biner, Octal Atau Hexadesimal .
Konversi dari bilangan desimal menjadi biner, octal atau hexadesimal juga memiliki konsep yang sama. Konsepnya bilangan desimal harus dibagi dengan basis bilangan tujuan, hasilnya dibulatkan kebawah dan sisa hasil baginya (remainder) disimpan. Ini dilakukan terus menerus hingga hasil bagi < basis bilangan tujuan. Sisa bagi ini kemudian diurutkan dari yang paling akhir hingga yang paling awal dan inilah yang merupakan hasil konversi bilangan tersebut. Untuk lebih jelasnya lihat pada contoh berikut;
1. Konversi bilangan desimal ke biner.
Cara konversi bilangan desimal ke biner adalah dengan membagi bilangan desimal dengan 2 dan menyimpan sisa bagi per seitap pembagian terus hingga hasil baginya < 2. Hasil konversi adalah urutan sisa bagi dari yang paling akhir hingga paling awal. Contoh:125(desimal) = …. (biner)
125/2 = 62 sisa bagi 1
62/2= 31 sisa bagi 0
31/2=15 sisa bagi 1
15/2=7 sisa bagi 1
7/2=3 sisa bagi 1
3/2=1 sisa bagi 1hasil konversi: 1111101
Lihat contoh gambar:
2. Konversi bilangan desimal ke octal.
Cara konversi bilangan desimal ke octal adalah dengan membagi bilangan desimal dengan 8 dan menyimpan sisa bagi per seitap pembagian terus hingga hasil baginya < 8. Hasil konversi adalah urutan sisa bagi dari yang paling akhir hingga paling awal. Contoh lihat gambar:
3. Konversi bilangan desimal ke hexadesimal.
Cara konversi bilangan desimal ke octal adalah dengan membagi bilangan desimal dengan 16 dan menyimpan sisa bagi per seitap pembagian terus hingga hasil baginya < 16. Hasil konversi adalah urutan sisa bagi dari yang paling akhir hingga paling awal. Apabila sisa bagi diatas 9 maka angkanya diubah, untuk nilai 10 angkanya A, nilai 11 angkanya B, nilai 12 angkanya C, nilai 13 angkanya D, nilai 14 angkanya E, nilai 15 angkanya F. Contoh lihat gambar:
Konversi Bilangan Octal Ke Biner Dan Sebaliknya.
1. Konversi bilangan octal ke biner.
Konversi bilangan octal ke biner caranya dengan memecah bilangan octal tersebut persatuan bilangan kemudian masing-masing diubah kebentuk biner tiga angka. Maksudnya misalkan kita mengkonversi nilai 2 binernya bukan 10 melainkan 010. Setelah itu hasil seluruhnya diurutkan kembali. Contoh:
2. Konversi bilangan biner ke octal.
Konversi bilangan biner ke octal sebaliknya yakni dengan mengelompokkan angka biner menjadi tiga-tiga dimulai dari sebelah kanan kemudian masing-masing kelompok dikonversikan kedalam angka desimal dan hasilnya diurutkan. Contoh lihat gambar:
Konversi Bilangan Hexadesimal Ke Biner Dan Sebaliknya.
1. Konversi bilangan hexadesimal ke biner.
Sama dengan cara konversi bilanga octal ke biner, bedanya kalau bilangan octal binernya harus 3 buah, bilangan desimal binernya 4 buah. Misal kita konversi 2 hexa menjadi biner hasilnya bukan 10 melainkan 0010. Contoh lihat gambar:
2. Konversi bilangan biner ke hexadesimal.
Teknik yang sama pada konversi biner ke octal. Hanya saja pengelompokan binernya bukan tiga-tiga sebagaimana pada bilangan octal melainkan harus empat-empat. Contoh lihat gambar:
Konversi bilangan hexadesimal ke octal dan sebaliknya
1. Konversi bilangan octal ke hexadesimal.
Teknik mengonversi bilangan octal ke hexa desimal adalah dengan mengubah bilangan octal menjadi biner kemudian mengubah binernya menjadi hexa. Ringkasnya octal->biner->hexa lihat contoh,
2. Konversi bilangan hexadesimal ke oktal
Konversi bilangan hexadesimal ke octal.Begitu juga dengan konversi hexa desimal ke octal yakni dengan mengubah bilangan hexa ke biner kemudian diubah menjadi bilangan octal. Ringkasnya hexa->biner->octal. Lihat contoh;
Diantara fungsi konversi bilangan diantaranya adalah untuk menghitung maksimum usable host pada blok IP address
Pada artikel ini akan dibahas tentang operasi perhitungan yang terdiri dari
operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dari sistem
bilangan biner, oktal, dan heksadesimal. Pada artikel yang lalu telah
dijelaskan tentang metode komplemen bilangan dimana hal tersebut sangat
berguna untuk diterapkan pada operasi perhitungan ini, karena komputer
digital tidak mengenal bilangan negatif.
Operasi Pada Sistem Bilangan
Operasi Penjumlahan
1. Penjumlahan sistem bilangan biner
Aturan dasar dari penjumlahan biner adalah sebagai berikut:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Dengan aturan tersebut, kita dapat menjumlahkan bilangan biner seperti penjumlahan bilangan desimal (dilakukan dari kanan ke kiri). Lebih jelasnya dapat dilihat seperti beberapa contoh di bawah ini.
Contoh :
2.
Penjumlahan istem bilangan oktal
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Dengan aturan tersebut, kita dapat menjumlahkan bilangan biner seperti penjumlahan bilangan desimal (dilakukan dari kanan ke kiri). Lebih jelasnya dapat dilihat seperti beberapa contoh di bawah ini.
Contoh :
| ① | Berapakah 11010,1 2 + 10111,0 2 | ② | Berapakah 1011,1101 2 + 11011,11101 2 |
| 111
11010,1 10111,0 + 110001,1 ∴ 11010,1 2 + 10111,0 2 = 110001,1 2 |
1 111 1
1011,1101 11011,11101 + 100111,10111 ∴ 11010,1 2 + 10111,0 2 = 100111,10111 2 |
Aturan dasar dari penjumlahan biner adalah sebagai berikut:
0 + 0 = 0 0 + 5 = 5 1 + 3 = 4 3 + 5 = 10
0 + 1 = 1 0 + 6 = 6 1 + 5 = 6 4 + 5 = 11
0 + 2 = 2 0 + 7 = 7 1 + 7 = 10 4 + 6 = 12
0 + 3 = 3 1 + 1 = 2 2 + 6 = 10 Dst…
0 + 4 = 4 1 + 2 = 3 2 + 7 = 11
Dengan dasar ini, penjumlahan oktal sama halnya dengan penjumlahan bilangan desimal. Lebih jelasnya depat dilihat pada beberapa contoh berikut ini.
Contoh :
3.
Penjumlahan sistem bilangan heksadesimal
0 + 0 = 0 0 + 5 = 5 1 + 3 = 4 3 + 5 = 10
0 + 1 = 1 0 + 6 = 6 1 + 5 = 6 4 + 5 = 11
0 + 2 = 2 0 + 7 = 7 1 + 7 = 10 4 + 6 = 12
0 + 3 = 3 1 + 1 = 2 2 + 6 = 10 Dst…
0 + 4 = 4 1 + 2 = 3 2 + 7 = 11
Dengan dasar ini, penjumlahan oktal sama halnya dengan penjumlahan bilangan desimal. Lebih jelasnya depat dilihat pada beberapa contoh berikut ini.
Contoh :
| ① | Berapakah 125 8 + 46 8 | ② | Berapakah 424 8 + 2567 8 |
| 1
125 46 + 173 ∴ 125 8 + 46 8 = 173 8 |
111
424 2567 + 3213 ∴ 424 8 + 2567 8 = 3213 8 |
Operasi penjumlahan heksadesimal sama halnya seperti penjumlahan pada
desimal. Lebih jelasnya depat dilihat pada beberapa contoh berikut ini.
Contoh :
Contoh :
| ① | Berapakah 2B5 16 + 7CA 16 | ② | Berapakah 658A 16 + 7E6 16 |
| 1
2B5 7CA + A7F ∴ 2B5 16 + 7CA 16 = A7F 16 |
11
658A 7E6 + 6D60 ∴ 658A 16 + 7E6 16 = 6D60 16 |
B. Operasi Pengurangan
1. Pengurangan sistem bilangan biner
Pengurangan pada sistem bilangan biner diterapkan dengan cara pengurangan
komplemen 1 dan pengurangan komplemen 2 dimana cara inilah yang digunakan
oleh komputer digital.
a. Pengurangan biner menggunakan komplemen 1
2.
Pengurangan sistem bilangan oktal dan heksadesimal
a. Pengurangan biner menggunakan komplemen 1
Bilangan biner yang akan dikurangi dibuat tetap dan bilangan biner
sebagai pengurangnya diubah ke bentuk komplemen 1, kemudian
dijumlahkan. Jika dari penjumlahan tersebut ada bawaan putaran ujung ( end-around carry), maka bawaan tersebut ditambahkan untuk
mendapatkan hasil akhir. Lebih jelasnya dapat dilihat seperti contoh di
bawah ini.
Contoh :
Jika dari penjumlahan tersebut tidak terdapat bawaan putaran ujung, maka hasil penjumlahan bilangan yang dikurangi dengan komplemen 1 bilangan pengurangnya adalah bilangan negatif dimana hasil akhirnya negatif dari hasil komplemen 1 penjumlahan tadi. Lebih jelasnya dapat dilihat beberapa contoh di bawah ini.
Contoh :
b. Pengurangan biner menggunakan komplemen 2
Contoh :
| ① | Berapakah 1011 2 – 0111 2 |
| 1011 → Bilangan biner yang dikurangi
1000 + → Komplemen 1 dari bilangan pengurangnya (0111 2 ) 1 0011 ↳ end-around carry 0011 → Hasil penjumlahan tanpa end-around carry 1 + → end-around carry dari hasil penjumlahan 0100 ∴ 1011 2 – 0111 2 = 0100 2 |
| ② | Berapakah 11110 2 – 10001 2 |
| 11110 → Bilangan biner yang dikurangi
01110 + → Komplemen 1 dari 10001 2 1 01100 ↳ end-around carry 01100 → Hasil penjumlahan tanpa end-around carry 1 + → end-around carry dari hasil penjumlahan 01101 ∴ 11110 2 – 10001 2 = 01101 2 |
Jika dari penjumlahan tersebut tidak terdapat bawaan putaran ujung, maka hasil penjumlahan bilangan yang dikurangi dengan komplemen 1 bilangan pengurangnya adalah bilangan negatif dimana hasil akhirnya negatif dari hasil komplemen 1 penjumlahan tadi. Lebih jelasnya dapat dilihat beberapa contoh di bawah ini.
Contoh :
| ① | Berapakah 01110 2 – 11110 2 |
| 01110 → Bilangan biner yang dikurangi
00001 + → Komplemen 1 dari 11110 2 01111 karena tidak ada end-around carry, maka hasilnya adalah bilangan negatif (komplemen 1 dari 01111 2 ) ∴ 01110 2 – 11110 2 = – 10000 2 |
| ② | Berapakah 01011 2 – 10001 2 |
| 01011 → Bilangan biner yang dikurangi
01110 + → Komplemen 1 dari 10001 2 11001 karena tidak ada end-around carry, maka hasilnya adalah bilangan negatif (komplemen 1 dari 11001 2 ) ∴ 01011 2 – 10001 2 = – 00110 2 |
Bilangan biner yang dikurangi tetap kemudian bilangan biner sebagai
pengurangnya di komplemen 2, lalu dijumlahkan. Jika hasilnya ada bawaan
(carry), maka hasil akhir adalah hasil penjumlahan tersebut
tanpa carry (diabaikan). Lebih jelasnya dapat dilihat beberapa
contoh di bawah ini.
Contoh :
Sekarang bagaimana kalau hasil penjumlahan dari bilangan yang dikurangi dengan komplemen 2 bilangan pengurangnya tanpa bawaan? Untuk menjawab ini, maka caranya sama seperti pengurangan komplemen 1, dimana hasil akhirnya negatif dan hasil penjumlahan tersebut di komplemen 2 merupakan hasil akhirnya. Lebih jelasnya dapat dilihat seperti contoh di bawah ini.
Contoh :
Contoh :
| ① | Berapakah 1100 2 – 0011 2 |
| 1100 → Bilangan biner yang dikurangi
1101 + → Komplemen 2 dari 0011 2 1 1001 → Carry diabaikan ∴ 1100 2 – 0011 2 = 1001 2 |
| ② | Berapakah 110000 2 – 011110 2 |
| 110000 → Bilangan biner yang dikurangi
100001 + → Komplemen 2 dari 011110 2 1 010001 → Carry diabaikan ∴ 110000 2 – 011110 2 = 010001 2 |
Sekarang bagaimana kalau hasil penjumlahan dari bilangan yang dikurangi dengan komplemen 2 bilangan pengurangnya tanpa bawaan? Untuk menjawab ini, maka caranya sama seperti pengurangan komplemen 1, dimana hasil akhirnya negatif dan hasil penjumlahan tersebut di komplemen 2 merupakan hasil akhirnya. Lebih jelasnya dapat dilihat seperti contoh di bawah ini.
Contoh :
| ① | Berapakah 01111 2 – 10011 2 |
| 01111 → Bilangan biner yang dikurangi
01101 + → Komplemen 2 dari 10011 2 11100 Karena tidak ada carry, maka hasilnya adalah bilangan negatif (komplemen 2 dari 11100 2 ) ∴ 01111 2 – 10011 2 = – 00100 2 |
| ② | Berapakah 10011 2 – 11001 2 |
| 10011 → Bilangan biner yang dikurangi
00111 + → Komplemen 2 dari 11001 2 11010 Karena tidak ada carry, maka hasilnya adalah bilangan negatif (komplemen 2 dari 11010 2 ) ∴ 10011 2 – 11001 2 = – 00110 2 |
Untuk pengurangan bilangan oktal dan heksadesimal, polanya sama dengan
pengurangan bilangan desimal. Untuk lebih jelasnya lihat contoh di bawah
ini.
Contoh untuk bilangan oktal :
Contoh untuk bilangan heksadesimal :
Contoh untuk bilangan oktal :
| ① | Berapakah 125 8 – 67 8 | ② | Berapakah 1321 8 – 657 8 |
| 78 → borrow
125 67 – 36 ∴ 125 8 – 67 8 = 36 8 |
778 → borrow
1321 657 – 442 ∴ 1321 8 – 657 8 = 442 8 |
Contoh untuk bilangan heksadesimal :
| ① | Berapakah 1256 16 – 479 16 | ② | Berapakah 3242 16 – 1987 16 |
| FF10 → borrow
1256 479 – DDD ∴ 1256 16 – 479 16 = DDD 16 |
FF10 → borrow
3242 1987 – 18CA ∴ 3242 16 – 1987 16 = 18CA 16 |
Operasi Perkalian
1. Perkalian sistem bilangan biner
Perkalian biner dapat juga dilakukan seperti perkalian desimal, bahkan jauh
lebih mudah karena pada perkalian biner hanya berlaku empat hal, yaitu :
0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat seperti beberapa contoh di bawah ini.
Contoh :
2.
Perkalian sistem bilangan oktal dan heksadesimal
0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat seperti beberapa contoh di bawah ini.
Contoh :
| ① | Berapakah 1011 2 × 1001 2 | ② | Berapakah 10110 2 × 101 2 |
| 1011 → Multiplikan (MD)
1001 × → Multiplikator (MR) 1011 0000 1011 1011 + 1100011 ∴ 1011 2 × 1001 2 = 1100011 2 |
10110 → Multiplikan (MD)
101 × → Multiplikator (MR) 10110 00000 10110 + 1101110 ∴ 10110 2 × 101 2 = 1101110 2 |
Untuk perkalian bilangan oktal dan heksadesimal, lebih jelasnya dapat
diperhatikan caranya seperti beberapa contoh berikut ini.
Contoh untuk bilangan oktal :
Contoh untuk bilangan heksadesimal :
Contoh untuk bilangan oktal :
| ① | Berapakah 25 8 × 14 8 | ② | Berapakah 453 8 × 65 8 |
| 25
14 × 124 25 + 374 ∴ 25 8 × 14 8 = 374 8 |
453
65 × 2727 3402 + 36747 ∴ 453 8 × 65 8 = 36747 8 |
Contoh untuk bilangan heksadesimal :
| ① | Berapakah 527 16 × 74 16 | ② | Berapakah 1A5 16 × 2F 16 |
| 527
74 × 149C 2411 + 255AC ∴ 527 16 × 74 16 = 255AC 16 |
1A5
2F × 18AB 34A + 4D4B ∴ 1A5 16 × 2F 16 = 4D4B 16 |
Operasi Pembagian
1. Pembagian sistem bilangan biner
Untuk pembagian bilangan biner tak ubahnya seperti pada pola pembagian
bilangan desimal. Lebih jelasnya dapat dilihat caranya seperti beberapa
contoh berikut ini:
Contoh :
2.
Pembagian sistem bilangan oktal dan heksadesimal
Contoh :
| ① | Berapakah 1100011 2 ÷ 1011 2 | ② | Berapakah 1101110 2 ÷ 10110 2 |
| 1011√1100011 = 1001
1011 – 10 0 – 101 0 – 1011 1011 – 0 ∴ 1100011 2 ÷ 1011 2 = 1001 2 |
10110√1101110 = 101
10110 – 1011 0 – 10110 10110 – 0 ∴ 1101110 2 ÷ 10110 2 = 101 2 |
Untuk pembagian bilangan oktal dan heksadesimal, lebih jelasnya dapat
diperhatikan caranya seperti beberapa contoh berikut ini.
Contoh untuk bilangan oktal :
Contoh untuk bilangan heksadesimal :
Sekian artikel tentang operasi perhitungan pada sistem bilangan ini, jika
ada kesalahan dalam penulisan maupun pembahasan diatas... mohon
dikoreksi... terimakasih...
Contoh untuk bilangan oktal :
| ① | Berapakah 374 8 ÷ 25 8 | ② | Berapakah 115436 8 ÷ 642 8 |
| 25√374 = 14
25 – 124 124 – 0 ∴ 374 8 ÷ 25 8 = 14 8 |
642√115436 = 137
642 – 3123 2346 – 5556 5556 – 0 ∴ 115436 8 ÷ 642 8 = 137 8 |
Contoh untuk bilangan heksadesimal :
| ① | Berapakah 1E3 16 ÷ 15 16 | ② | Berapakah 255AC 16 ÷ 527 16 |
| 15√1E3 = 17
15 – 93 93 – 0 ∴ 31E3 16 ÷ 15 16 = 17 16 |
527√255AC = 74
2411 – 149C 149C – 0 ∴ 225AC 16 ÷ 527 16 = 74 16 |
Daftar Pustaka
Tidak ada komentar:
Posting Komentar